Droite et points « entiers » - Corrigé

Énoncé

On a représenté ci-dessous la droite \((\text A\text B)\) passant par \(\text A(-2;-1)\) et \(\text B(2;2)\) .

Déterminer tous les points à coordonnées entières de la droite \((\text A\text B)\) .

Solution

La droite \((\text A\text B)\) a pour coefficient directeur
\(\begin{align*}m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-(-1)}{2-(-2)}=\frac{3}{4}\end{align*}\)  

et pour ordonnée à l'origine
\(\begin{align*}p=y_A-mx_A=-1-\frac{3}{4} \times (-2)=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}\)

donc l'équation réduite de la droite \((\text A\text B)\) est \(y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}\) .

Les points à coordonnées entières sur la   droite \((\text A\text B)\) sont les points de coordonnées \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) telles que
\(\begin{align*}y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\ \ \Longleftrightarrow \ \ 4y=3x+2\ \ \Longleftrightarrow \ \ -3x+4y=2.\end{align*}\)  

Résolvons donc l'équation \((E) \colon -3x+4y=2\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

• On applique l'algorithme d'Euclide pour \(3\) et \(4\) :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 4&3&1&1\\ \hline 3&1&3&0\\ \hline\end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 1\\ \ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc \(\mathrm{PGCD}(3;4)=1\)  et, comme \(1\) divise \(2\) , l'équation \((E)\) admet des solutions (ce que l'on savait déjà, puisque les points  \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont justement des points à coordonnées entières !).
  
• D'après l'algorithme d'Euclide, on a
  \(\begin{align*}4=3 \times 1+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ -3 \times 1+4 \times 1=1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ -3 \times 2+4 \times 2=2\end{align*}\)  
  donc \((x_0;y_0)=(2;2)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a  \(\begin{align*}-3x+4y=-3 \times 2+4 \times 2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 3(2-x)=4(2-y).\end{align*}\)  On en déduit que \(3\) divise \(4(2-y)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(3;4)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(3\) divise \(2-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}2-y=3k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=2-3k.\end{align*}\)
  On a alors
  \(\begin{align*}3(2-x)=4(2-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 3(2-x)=4 \times 3k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2-x=4k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=2-4k.\end{align*}\)  
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(2-4k;2-3k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(2-4k;2-3k)\) .
  On a  \(\begin{align*}-3x+4y& = -3(2-4k)+4(2-3k)= -3 \times 2+4 \times 2= 2\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(2-4k;2-3k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
  

Finalement, les points à coordonnées entières sur la   droite  \((\text A\text B)\) sont les points \(\text M_k(2-4k;2-3k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) . En particulier, le point \(\text M_0\) est le point \(\text B\) et le point \(\text M_1\) est le point \(\text A\) .